Derivați privați pentru o funcție din mai multe variabile. Derivații privați de diferențieri private Derivate ale funcției complexe a două variabile de derivați privați ai funcției complexe a mai multor argumente

Să presupunem că funcția Z - / (X, Y) este definită în unele regiuni D pe planul XOW. Luați punctul interior (X, Y) din regiunea D și dați x increment ah astfel încât punctul (x + AH, Y) 6 D (figura 9). Mărimea se numește o creștere privată a funcției Z de-a lungul X. Vom forma o relație pentru acest punct (x, y) Acest raport este o funcție de definiție. Dacă la raportul AH - * 0 are o limită finită, atunci această limită este numită un derivat privat al funcției z \u003d / (x, y) pe o variabilă independentă x la punctul (x, y) și este indicat de către Simbolul JFC (sau / i (x, jj) sau z "x (x, prin aceasta, prin definiție sau, care este cel mai asemănător cu acesta, dacă este o funcție a variabilelor independente, apoi menționați că arz se calculează Cu valoarea constantă a variabilei Y, A ATZ - cu valoarea constantă a variabilei X, definițiile derivatelor private pot fi formulate după cum urmează: derivați privați ai semnificației geometrice a derivaților parțiali ai funcțiilor a două variabile diferențiabilitatea a funcției mai multor variabile condițiile necesare de diferențiere a funcției condiții suficiente pentru funcții diferențiate ale mai multor variabile diferențiale complete. Diferențiale private derivate de funcționare complexă a derivatului parțial prin X \u003d / (x,) se numește obișnuit derivatul acestei funcții prin x, calculat sub presupunerea că Y este constanta; derivatul privat al funcției Z - / (x , Y) se numește derivatul său în conformitate cu Y, calculat sub presupunerea că X este constantă. Rezultă că regulile de calculare a derivaților privați coincid cu regulile dovedite pentru funcția unei variabile. Exemplu. Găsiți instrumente derivate private 4 Avem înlocuiri *. Din existența funcției r \u003d / (x, y) în acest punct de derivați privați pe toate argumentele nu va șterge continuitatea funcției în acest moment. Astfel, funcția nu este continuă la punctul 0 (0,0). Cu toate acestea, în acest moment, funcția specificată are derivați privați de-a lungul X și de Y. Acest lucru rezultă din faptul că / (x, 0) \u003d 0 și / (0, y) \u003d 0 și, prin urmare, semnificația geometrică a derivaților particulari ai a două variabile lăsate în spațiul tridimensional S suprafesul s s este setat Prin ecuația în care F (x, y) este o funcție, continuă într-o anumită zonă D și având derivați privați acolo de-a lungul X și de Y. Aflăm înțelesul geometric al acestor derivați în punctul de MO (Ho, UO) 6 D, care pe suprafața Z \u003d F (x) y) corespunde punctului F (x0) yo)). Când se găsește derivatul parțial al M0, presupunem că Z este doar funcția argumentului X, în timp ce argumentul Y păstrează valoarea constantă a y \u003d uh, adică funcția Fi (x) este ilometrică descrisă de curba l de-a lungul căruia suprafața se intersectează planul y \u003d u o În virtutea semnificației geometrice a derivatului funcției unei variabile F \\ (xo) \u003d Tg A, în care A este un unghi format de tangentul L la punctul JV0 cu axa Oh (figura 10). Dar, în așa fel, un derivat privat ($ |) este egal cu apoitannesulag și între axa OH și tangentă la punctul N0 până la curba obținută în secțiunea suprafeței Z \u003d / (X, Y) a planului În același mod, obținem că §6. Difuzarea funcției mai multor variabile. Lăsați funcția z \u003d / (x, y) să fie definite în unele regiuni D pe planul XOW. Luați punctul (x, y) € D și valorile selectate ale lui X și oferim orice trepte de ah și du, dar astfel încât punctul. Definiție. Funcția r \u003d / (x, y) se numește un punct diferențial * (w, y) 2 € 2e, dacă creșterea completă a acestei funcții, corespunzătoare creșterii DH, respectiv argumentelor, poate fi reprezentată în forma în care l și B nu depind de DH și D (dar, în general, depind de X și Y), iar A (DH, DU) și /? (DH, DU) tind la zero când rugăciunea pentru zero DH și face. . Dacă funcția z \u003d / (x, y) este diferențiată la punctul (x, y), atunci partea A DH 4- În creșterea unei funcții, liniară față de DC și DF, se numește diferențială completă a acestei funcții La punctul (x, y) și este indicat de simbolul DZ: în acest fel, un exemplu. Lăsați r \u003d x2 + u2. În fiecare punct (G, Y) și pentru orice DC și avem aici. Tech că a și / 3 au tendința de zero cu dorința de zero dh și face. Conform definiției, această funcție este diferențiată în orice punct al planului Xou. În același timp, observăm că, în argumentele noastre, cazul nu a fost exclus în mod oficial atunci când creșterea DX, du porno sau chiar ambele sunt imediat egale cu zero. Formula (1) poate fi scrisă mai compactă dacă introduceți expresia (distanța dintre punctele (folosind acestea, putem scrie desemnarea expresiei care stă în cochilii, prin e, vom avea unde depinde de J, DU și tinde să zero dacă J 0 și DU 0, sau mai scurte, dacă P 0. Formula (1), exprimând starea de diferențiere a funcției z \u003d F (xt y) la punctul (f, y), poate fi acum scrisă Forma exemplului 6.1. Condiții preliminare Teorema funcției 2. Dacă funcția r \u003d / (w, y) este diferențiată la un moment dat, atunci este continuu în acest moment. 4 Dacă la un punct (F, Y) Luzya r \u003d / (f, y) se diferențiază, apoi plină creșterea funcției pe care o am în acest punct "" E, care îndeplinește incrementele argumentelor J și suflare, pot fi furnizate în formă (valori ale L, în pentru acest punct sunt constante; de \u200b\u200bunde rezultă că acesta din urmă înseamnă că, la punctul (f, y), g / (bine, y) este continuu. Teorema! B. Dacă funcția r \u003d / (F, Y) Este diferențiată în acest moment, MO Eyets în acest punct de derivați privați $ § și. Lăsați funcția z \u003d / (x, y) să diferențieze punctul (x, y). Este cazul unui dg stimulent al acestei funcții care îndeplinește creșterile DX, Au de argumente pot fi reprezentate ca (1). Luând în egalitatea (1) DH F 0, Do \u003d 0, ajungem de unde ca în partea dreaptă a ultimei valori ale egalității și nu depind de aceasta înseamnă că, la punctul (X, Y), există un derivat privat de Funcția r \u003d / (x, y) cu x, cu argumente similare convinse (x, există un derivat privat al funcției Zo și din teorema rezultă că subliniem că teorema 5 aprobă existența derivate private numai la Punctul (X, Y), dar nimic nu vorbește despre continuitatea lor în acest moment, precum și despre comportamentul lor în vecinătatea punctului (x, y). 6.2. Condiții suficiente Funcțiile diferențiate ale mai multor variabile ca tine știți, o condiție necesară și suficientă pentru diferențierea funcției y \u003d / (x) a unei variabile la punctul HO este un derivat finit finit / "(x) la punctul X0. În cazul în care funcția depinde de mai multe variabile , este mult mai complicat: condițiile necesare și suficiente de diferențiere nu sunt deja pentru funcții z \u003d / (x, y) de două variabile independente x, y; există L. Sunteți necesar individual (consultați Mai sus) și separat - suficient. Aceste condiții suficiente de diferențiere a funcțiilor mai multor variabile sunt exprimate prin următoarea teoremă. Teorema în. Dacă funcția are derivați privați / £ și F "V într-o browning de subțire (Ho, UH) și dacă aceste derivate sunt continue la punctul (Ho, UH), atunci funcția z \u003d f (x, y) este DIFICEIABILĂ LA PUNCT (exemplu. Luați în considerare funcția semnificației geometrice derivate private a derivaților parțiali ai celor două variabile diferențialitatea funcției mai multor variabile condițiile necesare de diferențiere a funcției suficiente condiții diferite ale mai multor variabile diferențiale complete ale mai multor variabile diferențiale complete. Diferența diferențială Derivații diferențială este definit în întregime. Pe baza definiției derivatelor private, avem pentru Nosaselm * Diferențial ™ Această funcție la punctul 0 (0,0) va găsi și crește această ascuțire pentru diferențierea activului funcției / ( x, y) \u003d ascuțirea 0 (0,0), este necesar ca funcția E (DH, du) să fie următoarea 6vsconeo mică la DC 0 și DU 0. Puneți D0. Apoi, de la formula (1) va avea, prin urmare, funcții / (x, y) \u003d nu diferențiat la punctul 0 (0,0), deși are în acest moment producem FA și F "R primit Rezultatul este explicat prin faptul că derivații f "z și f" t punct de spargere §7. Diferențial complet. Diferența privată Dacă funcția R - F (Z\u003e Y) este diferențiată, atunci DZ diferențial scăzut este egal cu faptul că a observat că a \u003d b \u003d uch, scrieți formula (1) în formularul de mai jos pentru a răspândi conceptul de funcție diferențială La variabilele independente, punerea diferențialului variabilelor independente egale cu incrementele lor: după aceasta, formula funcției diferențiale complete a exemplului funcției SPEP. Să fiu 1L (x + U2). Apoi, în același mod, dacă U \u003d) este o funcție diferențiabilă N de variabile independente, expresia se numește o funcție diferențială slabă z \u003d f (x, y) în variabila x; Expresia se numește funcția diferențială privată Z \u003d / (W, Y) alternând. Din formulele (3), (4) și (5) rezultă că funcția diferențială completă este suma diferențelor sale private: observăm că creșterea completă a funcțiilor AZ Z \u003d / (W, Y), în general, este nu egală cu cantitatea de creșteri private. Dacă la punctul (i, y) al funcționării \u003d / (z, y) DZ diferențiat și diferențial DZ despre în acest moment, atunci creșterea sa completă diferă de partea sa liniară numai în cantitatea de ultimii termeni ai AAH 4 - /? Du, care, atunci când este deja 0 și ay - "o sunt infinit mici mai mari decât o comandă de înaltă calitate decât partea sensibilă la caracter. Prin urmare, cu DZ F 0, partea liniară a creșterii funcției diferențiate se numește partea principală a creșterii funcției și a utiliza formula aproximativă care va fi cu atât mai exactă decât cea mai mică în valoarea absolută va fi creșterea argumentelor. §opt. Derivați ai funcției complexe 1. Lăsați funcția să definească într-o anumită regiune D pe planul XOW, fiecare dintre variabile și, la rândul său, este funcția argumentului T: presupunem că atunci când T este schimbat în interval (punctele corespunzătoare (punctele corespunzătoare f, y) nu iesi dincolo de domeniul D. Dacă înlocuiți valorile la funcția z \u003d / (F, Y), obținem funcția complexă a unei variabile t. și cu valorile corespunzătoare ale Funcția / (x, y) diferențiată, apoi funcția complexă, la punctul T are un derivat și m am datim incrementarea la dt. Apoi x și y vor primi unele trepte de ah și du. Ca rezultat al acestui fapt, (J) 2 + (db) 2 F 0 Funcția Z va primi, de asemenea, o creștere a DG, care în virtutea diferendicității funcției z \u003d / (, y) la punctul (x, y) poate fi reprezentată În forma în care a) tind la zero când sarry la zero ah și du. Livrat A și / 3 la Ah \u003d Agu \u003d 0, punerea și apoi a (va fi continuu când J \u003d 0 \u003d 0. Luați în considerare relația pe care o avem în fiecare termen ^ în partea dreaptă (2) Ambii factori au limite cu valabilitate, Derivați privați și ^ Pentru aceasta, ele sunt constante, în condiții, există limite din existența derivatelor și la punctul £ urmează continuitatea în acest punct de funcții x \u003d y (t) și y \u003d prin urmare, la 0 , ei se străduiesc pentru zero și j și fac, ceea ce implică, la rândul său, este o dorință de zero a (DH, DU) și P (AH, AY). Astfel, partea dreaptă a egalității (2) la 0 are o limită înseamnă că există la 0 și limita părții din stânga (2), t. e. Există o trecere egală în egalitatea (2) la limita la - "0, obținem formula necesară în cazul particular, când, prin urmare, Z este o funcție complexă de la bine, ajungem în formula (5 ) Există un derivat privat al FUDADIG \u003d /, Y) PO, cu prezentarea căreia în expresia / (f, y) argumentul Y este luat permanent. Și există un derivat complet al funcției Z conform unei variabile independente G, cu calculul căruia Y în expresia / (G, Y) nu mai este luat pentru constanță, dar este considerat a fi o funcție de la W: y \u003d tp (x) t și, prin urmare, dependența Z de la bine ia în considerare complet. Exemplu. Găsiți și JG dacă 2. Luați în considerare diferențierea funcției complexe a mai multor variabile. Să presupunem că, la rândul său, astfel încât să presupunem că la punctul (() există derivați privați continuu, 3? "Și la punctul corespunzător (F, Y), unde funcția / (F, Y) este diferențiată. Arătăm asta În aceste condiții. Complexul Funshiya z \u003d Z (() y) la punctul T7) are derivați și u și găsiți expresii pentru acești derivați. Rețineți că acest caz de la deja studiat nu este semnificativ diferit. Într-adevăr, cu diferențierea lui Z, a doua, variabila independentă RJ este luată pentru constanță, ca urmare a căreia devine funcții ale unei variabile w "\u003d c), y \u003d c) și problema derivatului c este Rezolvată în același mod ca și problema derivatului în derivatul cu formula (3). Folosind formula (3) și înlocuind oficial derivații din acesta § și, în consecință, obținem un exemplu de identificare a unui exemplu. Găsiți derivatele private ^ și ^ Funcțiile R \u003d Z2 Y - Hustli X - Y \u003d Dacă funcția complexă "este definită prin formule, astfel încât atunci când efectuați condițiile corespunzătoare, avem într-un anumit caz atunci când și \u003d în cazul în care semnificația geometrică a derivatelor private a derivatelor parțiale ale a două variabile, diferențierea funcției mai multor variabile condițiile necesare de diferențiere a funcției Condiții suficiente Funcții diferențiate ale mai multor variabile diferențiale complete. Diferențiale private Derivate de funcții complexe Avem o funcție completă. Funcția derivativă complexă și pe o variabilă independentă x, ținând cont de dependența deplină și de la x, inxcine și v \u003d z (x, y), o ^-la-the-fulled. caracteristici și \u003d (g, y, d) cu x, la calcularea

) Am întâlnit în mod repetat derivații parțiali ai funcțiilor complexe precum și exemple mai dificile. Deci ce altceva poți spune?! ... și totul este ca și în viață - nu există o astfel de complexitate încât ar fi imposibil să complicați \u003d), dar matematică - atât pe matematică să pună diversitatea lumii noastre într-un cadru strict. Și, uneori, este posibil să se facă o singură ofertă:

În cazul general, o funcție complexă are forma Unde cel puțin unul Din litere este funcţiecare pot depinde arbitrar Numărul de variabile.

Opțiunea minimă și cea mai ușoară este o funcție complexă de cunoștință lungă a unei variabile, derivate din care Am învățat să găsim în semestrul trecut. De asemenea, aveți diferențiere (Aruncați o privire la aceleași funcții. ) .

Astfel, acum vom fi interesați de caz. Datorită unei mari diversități ale funcțiilor complexe, formulele generale ale derivatelor lor au o vedere foarte greoaie și slab absorbită. În acest sens, voi limita exemplele specifice din care puteți înțelege principiul general al găsirii acestor instrumente derivate:

Exemplul 1.

Funcția complexă Dana, unde . Necesită:
1) găsiți derivatul și înregistrați diferențialul complet al ordinului 1;
2) Calculați valoarea derivatului la.

Decizie: În primul rând, o vom da seama cu funcția în sine. Ni se oferă o funcție în funcție de și, la rândul lor sunt funcții O variabilă:

În al doilea rând, acordăm o atenție deosebită atribuției în sine - trebuie să găsim derivatAdică, nu vorbim deloc despre derivatele private pe care le-am găsit! De la funcția. De fapt, depinde doar de o variabilă, atunci sub cuvântul "derivat" se înțelege derivat complet . Cum să o găsiți?

Primul lucru vine în minte este o substituție directă și o altă diferențiere. Substitui a functiona:
După aceea, cu derivatul dorit al oricăror probleme:

Și, în consecință, diferența completă:

Această soluție matematic în mod corect, dar nuanța mică este că atunci când sarcina este formulată așa cum este formulată - nimeni nu se așteaptă la un astfel de barbarism de la tine \u003d) și dacă este serios, atunci chiar o poți găsi cu adevărat. Imaginați-vă că funcția descrie zborul de bumblebee, iar funcțiile atașate variază în funcție de temperatură. Prin efectuarea unei substituții drepte , ajungem doar informație privată Ceea ce caracterizează zborul, să spunem, numai în vreme caldă. Mai mult, dacă o persoană nu are cunoștință să prezinte un rezultat gata la bumble și chiar să spună că aceasta este pentru această funcție, el nu știe nimic despre legea fundamentală a zborului!

Acesta este modul în care fratele destul de neașteptat, buzzingul nostru a ajutat să realizeze semnificația și importanța formulei universale:

Se obișnuiește cu denumirile "cu două etaje" ale derivatelor - în sarcina luată în considerare în deplasare, acestea sunt tocmai. Ar trebui să fie foarte îngrijite În record: derivați cu icoane directe "DE" - acest lucru deconectați derivați, și derivați cu icoane rotunjite - ea derivați privați. De la acesta din urmă și începe:

Ei bine, cu "cozi" în general, totul este elementar:

Substituiți derivatul găsit în formula noastră:

Când funcția este inițial propusă într-o formă complicată, va fi logică (Și explicația este dată mai sus!) Concediu în aceeași formă și rezultate:

În același timp, în răspunsurile "complicate", este mai bine să se abțină chiar de la simplificări minime (aici, de exemplu, sugerează eliminarea a 3 minus) - Și lucrați mai puțin, iar prietenul Shaggy este încântat să revizuiască sarcina mai ușoară.

Cu toate acestea, nu va fi superfluă. Substitui În instrumentul derivat găsit și face o simplificare:


(în ultimul pas folosit formulele trigonometrice , )

Ca rezultat, același rezultat a fost obținut ca la metoda de soluție "barbară".

Calculați derivatul la punct. În primul rând, este convenabil să aflați valorile "tranzit" (valori ale funcțiilor ) :

Acum facem calculele finale care, în acest caz, pot fi efectuate diferit. Folosesc o tehnică interesantă în care 3 și 4 "podele" sunt simplificate nu prin regulile obișnuite, ci sunt convertite ca două numere private:

Și, bineînțeles, păcatul nu verifică intrarea mai compactă :

Răspuns:

Se întâmplă că sarcina este oferită în forma "semi-arbore":

"Găsiți o funcție derivată în cazul în care »

Adică funcția "Acasă" nu este dată, dar "căptușeală" este destul de specifică. Răspunsul trebuie administrat în același stil:

În plus, condiția poate fi puțin pompată:

"Găsiți o funcție derivată »

În acest caz, aveți nevoie singurdesemnați funcțiile imbricate cu câteva litere potrivite, de exemplu, prin și să profite de aceeași formulă:

Apropo, despre denumirile alfabetice. Am chemat în mod repetat să nu "agățați de litere", ca și cercului de salvare, iar acum este adevărat adevărat! Analizez diverse surse pe această temă, în general am impresia că autorii "s-au dus la rotație" și au început să arunce fără milă studenții în Bays Stormy Math \u003d) Așa că iartă :))

Exemplul 2.

Găsiți o funcție derivată , în cazul în care un

Alte denumiri nu ar trebui să fie confuze! De fiecare dată când întâlniți o sarcină similară, trebuie să răspundeți la două întrebări simple:

1) Care este funcția "acasă" în funcție de viață? În acest caz, funcția "Zid" depinde de cele două funcții ("Y" și de "VE").

2) La ce variabile sunt numite funcții depind? În acest caz, atât "linerul" depinde doar de "Iksa".

Astfel, nu ar trebui să aveți dificultăți în adaptarea formulei acestei sarcini!

O soluție scurtă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Exemple suplimentare în primul ochi pot fi găsite în sarcina Ryabushko. (IDA 10.1)Ei bine, luăm un curs funcția a trei variabile:

Exemplul 3.

Dana funcționează unde.
Calculați derivatul la punct

Formula funcției complexe derivate, cât de multe ghiciți are o viziune țintă:

Decideți, odată ghicit \u003d)

Doar în cazul în care, voi da o formulă generală pentru funcția:
Deși în practică este puțin probabil să întâlniți ceva mai mult decât exemplul 3.

În plus, uneori trebuie să diferențieți versiunea "tăiată" - de regulă, fie funcția formularului este fie. Vă las această întrebare pentru un studiu independent - veniți cu câteva exemple simple, gândiți-vă la experimentarea și ieșirea formulelor scurtate de derivați.

Dacă ceva rămâne neacceptat, vă rugăm să reluați și să înțelegeți prima parte a lecției, deoarece acum sarcina va complica:

Exemplul 4.

Găsiți derivați privați de funcții complexe în cazul în care

Decizie: Această funcție are forma și după o substituție directă și obținem funcția obișnuită a două variabile:

Dar această teamă nu este că nu este acceptată, dar deja nu doriți să diferențieți \u003d), prin urmare, folosim formule gata făcute. Așa că ați prins regularitatea mai repede, voi îndeplini unele mărci:

Vizualizați cu atenție imaginea de sus în jos și la stânga la dreapta ....

Vom găsi derivați privați ai funcției "Main":

Acum găsim derivați "ICS" de "inserții":

Și scrieți derivatul final "ICS":

În mod similar, "Igrek":

și

Puteți rămâne la un alt stil - găsiți imediat toate "cozile" Și apoi scrieți ambele derivate.

Răspuns:

Despre înlocuire Ceva cumva nu se gândește la toate \u003d) \u003d), dar puteți combate rezultatele puțin. Deși, din nou, de ce? - complicați doar testul profesorului.

Dacă este necesar, atunci diferențial complet Este scrisă de-a lungul formulei obișnuite și, apropo, devine cosmetică ușoară relevantă în acest pas:


Aici ... .... sicriul de pe roți.

Datorită popularității speciilor luate în considerare a funcției complexe a unei perechi de sarcini pentru o soluție independentă. Un exemplu mai simplu în formularul "Semi-arbore" - pentru a înțelege formula în sine ;-):

Exemplul 5.

Găsiți funcții derivate private unde

Și mai complicate - cu conexiunea tehnicii de diferențiere:

Exemplul 6.

Găsiți o funcție diferențială completă Unde

Nu, nu am încercat deloc să vă "trimit la fund" - toate exemplele sunt luate din lucrări reale și "în Marea Deschisă" puteți fi prins orice litere. În orice caz, va fi necesar să se analizeze funcția. (Răspunzând la 2 întrebări - vezi mai sus), prezintă-o în general și modifică ușor formulele pentru derivate private. Poate că acum un mic vecin, dar principiul designului lor în sine va înțelege! Pentru sarcini reale încep doar :)))

Exemplul 7.

Găsiți derivați privați și faceți o funcție complexă complexă complexă
Unde

Decizie: Funcția "Acasă" are forma și încă depinde de cele două variabile - "Iksa" și "Gameks". În comparație cu exemplul 4, s-a adăugat o altă funcție încorporată și, prin urmare, formulele de derivate private sunt, de asemenea, prelungite. Ca și în acest exemplu, pentru o viziune mai bună a regularității, voi aloca derivații privați "principali" de diferite culori:

Și din nou - examinați cu atenție înregistrarea de sus în jos și la stânga la dreapta.

Deoarece sarcina este formulată în forma "semi-arbore", atunci toate lucrările noastre sunt în esență limitate la găsirea derivaților privați de funcții imbricate:

Un prim grader va face față:

Și chiar diferențialul complet sa dovedit a fi destul de frumos:

În mod specific, nu v-am oferit o anumită funcție - astfel încât jeturile suplimentare să nu interfereze bine în diagrama schematică a problemei.

Răspuns:

Destul de des puteți întâlni atașamentele "Solid-calibru", de exemplu:

Aici, funcția "acasă", deși arată, dar încă depinde de "x" și de la "Igrek". Prin urmare, aceleași formule funcționează - doar câțiva derivați privați vor fi zero. Și acest lucru este valabil pentru funcții precum care fiecare "căptușeală" depinde de o singură variabilă.

O situație similară are loc în două exemple finale ale lecției:

Exemplul 8.

Găsiți o funcție complexă complexă completă la punct

Decizie: Condiția este formulată "buget" și trebuie să identificăm funcțiile imbricate. În opinia mea, o opțiune bună:

În "căptușeli" sunt prezente ( ATENŢIE!) Trei litere - Bunul vechi "Xrej-Zeta", și, prin urmare, funcția "acasă" depinde, de fapt, de trei variabile. Acesta poate fi rescris formal sub formă, iar derivații privați în acest caz sunt determinați prin următoarele formule:

Scanați, luăm, prindeți ...

În sarcina noastră:

Fie Z \u003d ƒ (x; y) este funcția a două variabile x și y, fiecare dintre acestea fiind funcția unei variabile independente T: x \u003d x (t), y \u003d y (t). În acest caz, funcția z \u003d f (x (t); y (t)) este o funcție complexă a unei variabile independente T; Variabile x și y - variabile intermediare.

Teorema 44.4. Dacă z \u003d ƒ (x; y) este diferențiată la funcția M (x; Y) є D și x \u003d x (t) și y \u003d y (t) - funcții diferențiate ale unei variabile independente T, derivatul Funcția complexă Z (t) \u003d f (x (t); y (t)) este calculată prin formula

Dăm o variabilă independentă T increment Δt. Apoi funcțiile x \u003d x (t) și y \u003d y (t) vor primi incrementarea Δх și ΔU, respectiv. Ele, la rândul lor, vor provoca creșterea funcției AZ Z.

Deoarece, după condiție, funcția z - ƒ (x; y) este diferențiată la punctul m (x; y), atunci creșterea sa completă poate fi reprezentată ca

În cazul în care un → 0, β → 0 la Δх → 0, ΔU → 0 (a se vedea clauza 44.3). Am împărțit expresia Δz pe Δt și deplasați la limita la ΔT → 0. Apoi Δх → 0 și ΔU → 0 în virtutea continuității funcțiilor x \u003d x (t) și y \u003d y (t) (cu starea teoremei, acestea sunt diferențiate). Primim:

Cutie privată: z \u003d ƒ (x; y), unde y \u003d y (x), adică z \u003d ƒ (x; y (x) este o funcție complexă a unei variabile independente x. Acest caz este redus la cel precedent, iar rolul variabilei T joacă x. Conform formulei (44.8), avem:

Formula (44.9) se numește formula derivată completă.

Cauza generală: z \u003d ƒ (x; y), unde x \u003d x (u; v), y \u003d y (u; v). Apoi z \u003d f (x (u; v); y (u; v)) - funcția complexă a variabilelor independente U și V. Derivații săi privați pot fi găsiți utilizând formula (44,8) după cum urmează. Fixarea V, înlocuiți-o în ea derivații privați corespunzători

În mod similar, primim:

Astfel, derivatul funcției complexe (Z) pentru fiecare variabilă independentă (U și V) este egală cu cantitatea de lucrări de derivați particulari ai acestei funcții (Z) prin variabilele intermediare (x și y) pe derivații lor în funcție de Variabila independentă corespunzătoare (U și V).

Exemplul 44.5. Găsiți dacă z \u003d ln (x 2 + în 2), x \u003d u v, y \u003d u / v.

Soluție: Găsiți Dz / du (DZ / DV - independent) utilizând formula (44.10):

Simplificăm partea dreaptă a egalității obținute:

40. Derivații privați și funcția diferențială completă a mai multor variabile.

Să fie administrat funcția z \u003d ƒ (x; y). Deoarece x și y sunt variabile independente, atunci unul dintre ei se poate schimba, iar celălalt să-și salveze valoarea. Oferim o creștere a variabilei independente x Δх, păstrând valoarea în neschimbată. Apoi Z va primi o creștere, ceea ce se numește incrementarea privată a lui Z de-a lungul și este notată cu δ x z. Asa de,

Δ x z \u003d ƒ (x + Δh; y) -ƒ (x; y).

În mod similar, obținem o creștere privată la z de:

Δ în z \u003d ƒ (x; y + ΔU) -ƒ (x; y).

Funcția de Δz de creștere completă Z este determinată de egalitate

Δz \u003d ƒ (x + ΔH; y + ΔU) - ƒ (x; y).

Dacă există o limită

se numește derivatul privat al funcției z \u003d ƒ (x; y) la punctul m (x; y) în variabila x și este indicat de unul dintre caractere:

Derivații privați în X la punctul M 0 (x 0; Y 0) sunt, de obicei, denotați prin simboluri

Derivatul individual de la Z \u003d ƒ (x; y) pe variabila Y este același și denotă.

Astfel, derivatul special al funcției mai multor (două, trei și mai multe) variabile este definit ca un derivat al uneia dintre aceste variabile, cu condiția ca valorile variabilelor independente rămase să fie constante. Prin urmare, derivații privați de funcții ƒ (x; y) se găsesc în conformitate cu formulele și regulile de calculare a derivaților funcțiilor unei variabile (în același timp, respectiv, X sau Y este considerată o valoare permanentă).

Exemplul 44.1. Găsiți derivați privați Z \u003d 2U + E X2-Y +1. Decizie:

Semnificația geometrică a derivaților privați a două variabile

Graficul funcției z \u003d ƒ (x; y) este o suprafață (vezi clauza 12.1). Graficul funcției z \u003d ƒ (x; y 0) este linia de intersecție a acestei suprafețe cu avionul y \u003d y despre. Pe baza semnificației geometrice a derivatului pentru funcția unei variabile (a se vedea clauza 20.2), concluzionăm că ƒ "x (xo; yo) \u003d Tg A, în care A este un unghi între axa lui OH și tangenta, transportată la curba Z \u003d ƒ (x; y 0) în punctul de mo (Ho, uo; ƒ (Ho, UH)) (vezi fig.208).

În mod similar, f "y (x 0; y 0) \u003d tgβ.

Funcția z \u003d F (x, y) se numește diferențiată la punctul P (x, y) dacă creșterea totală Δz poate fi reprezentată ca Δz \u003d a ∙ Δx + b ∙ Δy + ω (Δx, Δy), unde Δx și ΔY - orice incremente ale argumentelor corespunzătoare x și y în unele vecini ale punctului P, A și B - Constant (independent de Δx, Δy),

Ω (Δx, Δy) este infinit de mic mai mare decât distanța:

Dacă funcția este diferențiată la punct, atunci creșterea completă a acestuia în acest moment constă din două părți:

1. Partea principală a creșterii funcției A ∙ Δx + B ∙ Δy este liniară relativă la Δx, Δy

2. și neliniar ω (Δx, Δy) este o ordine infinit de mică mai mare decât partea principală a creșterii.

Partea principală a funcției de creștere este liniară față de Δx, ΔY se numește diferențială completă a acestei funcții și este indicată: Δz \u003d a ∙ Δx + b ∙ Δy, Δx \u003d dx și Δy \u003d d sau funcția diferențială completă a două variabile:

Afișaj diferențial. Diferențial și derivat al funcției numerice a unei variabile. Derivate de masă. Diferențialitate. ) - funcția argumentului, care este infinit de mic la → 0, adică.

Acum aflăm relația dintre diferențiere la punctul și existența derivatului în același punct.

Teorema. Pentru a funcționa f.(x.) a fost diferențiată în acest moment h. , este necesar și suficient pentru ca aceasta să aibă un derivat finit în acest moment.

Derivate de masă.

Diferențierea funcțiilor complexe

Lăsați pentru o funcție n.- Argumentele sunt, de asemenea, funcții variabile:

Următoarea teoremă privind diferențierea funcției complexe este valabilă.

Teorema 8. Dacă funcțiile sunt diferențiate la punct, iar funcția este diferențiată la punctul corespunzător, unde,. Apoi, funcția complexă este diferențiată la punct, iar derivații individuali sunt determinați prin formule

În cazul calculatelor derivate private la acest punct și sunt calculate la punct.

ƒ Doveim această teoremă pentru funcția a două variabile. Lăsați, a.

Lăsați creșterile arbitrare ale argumentelor și la acest punct. Ele corespund creșterii funcțiilor și la punct. Incremente și corespunde creșterii funcției la punct. De la diferențierea la punct, creșterea sa poate fi înregistrată ca

unde sunt calculate la punct, când și. Datorită diferențierii funcțiilor și a punctului, ajungem

unde se calculează la punct; .

Înlocuitor (14) în (13) și regruparea termenilor

Rețineți că atunci când se străduiesc pentru zero la. Acest lucru rezultă din faptul că infinit mic cu și. Dar funcționează și diferențiază și, în consecință, continuă la punct. Prin urmare, dacă și, atunci. Apoi, la.

Deoarece instrumentele derivate private sunt calculate la punct, ajungem

Denota

și aceasta înseamnă că diferențiată de variabile și, și

Corolar. Dacă, și, adică , apoi derivate prin variabile t.calculată prin formula

Daca atunci

Ultima expresie este numită formula derivat completpentru funcția multor variabile.

Exemple.1) Găsiți o funcție derivată completă, unde,.

Decizie.

2) Găsiți o funcție completă derivată dacă,.

Decizie.

Folosind regulile de diferențiere pentru funcția complexă, obținem o proprietate importantă a funcției diferențiale a multor variabile.

Dacă funcțiile variabile independente, diferența prin definiție este egală cu:

Acum, permiteți argumentele să aibă funcții diferențiate la un anumit punct al funcției, în funcție de variabile, iar funcția este diferențiată de variabile ,. Apoi puteți considera ca o funcție complexă a variabilelor. Este diferența teorema anterioară, iar raportul are loc

unde este determinată prin formule (12). Înlocuitor (12) în (17) și, colectând coeficienți atunci când ajungem

Deoarece coeficientul cu un derivat este egal cu funcția diferențială, atunci formula (16) a fost obținută pentru funcția diferențială.

Astfel, formula primului diferențial nu depinde de faptul dacă argumentele sale sunt caracteristici sau sunt independente. Această proprietate este numită invariaza formei primului diferențial.

Taylor Formula (29) poate fi, de asemenea, scrisă ca

ƒ Dovada va efectua pentru funcția a două variabile sau.

Mai întâi ia în considerare funcția unei variabile. Lăsați orele în mod diferit în vecinătatea punctului. Formula taylor pentru funcția unei variabile cu un element rezidual în formula Lagrange are

Deoarece - o variabilă independentă, atunci. Prin definirea funcției diferențiale a unei variabile

Dacă desemnați, atunci (31) poate fi scris ca

Luați în considerare unele - vecinătatea punctului și există un punct arbitrar și puncte de legătură și lungimea liniei drepte. Este clar că coordonatele și punctele acestui director au funcții de parametri liniară.

Pe segment, funcția directă este o funcție complexă a parametrului, deoarece. În același timp, este diferențiată diferențiată de către Formula Taylor Taylor (32), unde, adică.

Diferența în formula (32) sunt diferențiale ale unei funcții complexe, unde,, adică

Substituirea (33) în (32) și luând în considerare faptul că ajungem

Ultimul termen din (34) se numește membru rezidual al formulei Taylor din forma Lagrange.

Fără dovada, menționăm că, dacă în condițiile funcției teoreme diferențiază la punct m. Odată, atunci elementul rezidual poate fi scris în forma de peao:

Capitolul 7. Funcțiile mai multor variabile

7.1. Spaţiu R n. Setează în spațiul liniar.

Setul, ale cărui elemente sunt tot felul de seturi comandate de la n. Numerele valide sunt notate și numite spațiul aritmetic n-dimensionalși numărul n. numit dimensiunea spațiului. Elementul setului este numit punct de spațiu sau vector, și numerele coordonatele din acest punct. Point \u003d (0, 0, ... 0) zero sau începutul coordonatelor.

Spațiu - există multe numere valide, adică - numărul liniei drepte; Și - există un plan geometric coordonate bidimensional și, respectiv, un spațiu geometric tridimensional coordonate. Vectori ,, ... chemați o singură bază.

Pentru două elemente, seturile sunt definite de conceptele din cantitatea de elemente și de produsul elementului pe un număr valid:

Evident, din cauza acestei definiții și proprietăți ale numerelor valide, egalitatea este valabilă:

Conform acestor proprietăți, spațiul este, de asemenea, numit liniar (vector) spaţiu.

În spațiul liniar este determinat produs scalar Elemente și ca număr valid calculat prin următoarea regulă:

Numărul este numit vector de lungime sau normă . Vectori și sunt chemați ortogonal, în cazul în care un . Valoare

, )= │ - │ =

numit distanța dintre elementeși .

Dacă vectori non-zero, atunci unghi între ele se numește unghi, astfel încât

Este ușor să vă asigurați că pentru elemente și un număr valid, se efectuează un produs scalar:

Spațiul liniar cu un produs scalar definit în formula (1) este numit spațiul Euclidean.

Lăsați punctul și. Multe puncte pentru care sunt efectuate inegalități

numit n. -măsurarea cubului Cu o margine și un centru la punct. De exemplu, un cub bidimensional este un pătrat al laterală cu centrul la punct.

Multe puncte care satisfac inegalitatea sunt numite n-dimensională Radius cu centru la punct, care este, de asemenea, numit

- punctul de vecinătateîn și denotă

Astfel, o minge unidimensională este o lungime intervalului. Minge bidimensională

există un cerc pentru care se efectuează inegalitatea

Definiție 1.. Mulți numiți limitatdacă există
n.- mingea de măsurare care conține acest set.

Definiția 2.. Funcția specificată pe setul de numere naturale și pe valorile de primire aparținând apartenența secvenţă în spațiu și este indicat unde.

Definiția 3.. Se numește punct limita de secvențăDacă există un număr natural pentru un număr pozitiv arbitrar, astfel încât inegalitatea este efectuată pentru orice număr.

Simbolic, această definiție este scrisă după cum urmează:

Desemnare:

Din definiția 3 rezultă că, când. O astfel de secvență este numită converging. la.

Dacă secvența nu se convertează în nici un punct, atunci se numește divergent.

Teorema 1. Pentru ca secvența să meargă la punct, este necesar și suficient pentru orice număr a fost efectuat, adică. La secvența i.- x coordonate converged la i.- Punctul de coordonare.

□ Evaluat la fel de mult ca inegalitățile

Secvența este numită limitatDacă setul de valori este limitat, adică.

Ca și secvența numerică, secvența convergentă a punctelor este limitată și are o singură limită.

Definiție 4.. Secvența este numită fundamental(cauchy secvență), Dacă se poate specifica un astfel de număr natural pentru orice număr pozitiv, care pentru numerele naturale arbitrare și, mare, se efectuează, adică.

Teorema 2. (Criteriu curios). Pentru ca succesiunea să fie convergentă, este necesar și suficient pentru ca aceasta să fie fundamentală.

□ nevoie.Lăsați să mergeți la punct. Apoi obținem o secvență convergentă. . . , ... a sunat regiune în. În cazul în care un X -regiune, atunci închiderea sa este chemată regiunea închisă.

A stabilit X. și Y. Apel SeparaCu excepția cazului în care oricare dintre ele conține alte puncte de atingere.

Multe H. Apel conectatDacă nu poate fi reprezentată ca o combinație de două seturi separabile.

Multe H.apel convex , dacă oricare dintre cele două puncte sale poate fi conectat printr-un segment, aparținând în întregime acestui set.

Exemplu. Bazându-se pe definiția formulată mai sus, se poate argumenta

- asociate liniar asociate, deschise, nedorite, este o zonă.

- set legat de liniar, nedeschis, neplăcut, nu este o zonă.

- fără legătură, nu este legată, deschisă, non-săracă, nu este o zonă.

- Neconsolidat, nu conectat liniar, setul deschis nu este o zonă.

- setul deschis asociat, liniar, deschis este zona.

Dovada formulării funcției complexe derivate este dată. Cazurile sunt luate în considerare în detaliu unde funcția complexă depinde de una și două variabile. O generalizare se face în cazul unui număr arbitrar de variabile.

Conţinut

Vezi si: Exemple de aplicare a formulării funcției complexe derivate

Formule de bază

Aici aducem încheierea următoarelor formule pentru o funcție complexă derivată.
Daca atunci
.
Daca atunci
.
Daca atunci
.

Funcția complexă derivativă de la o variabilă

Lăsați funcția de la variabila x să poată fi reprezentată ca o funcție complexă după cum urmează:
,
Unde și există câteva funcții. Funcția este diferențiată la o anumită valoare a variabilei X. Funcția este diferențiată atunci când valoarea variabilă este evaluată.
Apoi funcția complexă (compozită) este diferențiată la punctul X și derivatul său este determinat prin formula:
(1) .

Formula (1) poate fi, de asemenea, scrisă după cum urmează:
;
.

Dovezi

Introducem următoarea notație.
;
.
Există o funcție de la variabile și, există o funcție de la variabile și. Dar vom scădea argumentele acestor funcții pentru a nu îmbogăți calculele.

Deoarece funcțiile și diferențiale la punctele X și, în consecință, în aceste puncte există instrumente derivate ale acestor funcții, care sunt următoarele limite:
;
.

Luați în considerare următoarea funcție:
.
Cu o valoare fixă \u200b\u200ba variabilei U, este o funcție de la. Este evident că
.
Atunci
.

Deoarece funcția este diferențiată de funcția la punct, este continuă în acest moment. prin urmare
.
Atunci
.

Acum găsim un derivat.

.

Formula este dovedită.

Corolar

Dacă funcția de la variabila x poate fi reprezentată ca o funcție complexă dintr-o funcție complexă
,
Apoi, derivatul său este determinat prin formula
.
Aici, și există câteva funcții diferențiate.

Pentru a dovedi această formulă, calculăm în mod consecvent derivatul în conformitate cu regula de diferențiere a unei funcții complexe.
Luați în considerare o funcție complexă
.
Derivatul său
.
Luați în considerare funcția sursă
.
Derivatul său
.

Funcția complexă derivativă din două variabile

Acum, funcția complexă depinde de mai multe variabile. Primul ia în considerare cazul funcției complexe de la două variabile.

Lăsați funcția în funcție de variabila x să poată fi reprezentată ca o funcție complexă de la două variabile în formularul de mai jos:
,
Unde
și există funcții diferențiate cu o anumită valoare a variabilei X;
- Funcția de la două variabile, diferențiate la punct ,. Apoi funcția complexă este determinată în unele vecinătăți a punctului și are un derivat, care este determinat prin formula:
(2) .

Dovezi

Deoarece funcțiile și diferențiază la punct, ele sunt definite în unele împrejurimi ale acestui punct, sunt continue la punct și există derivatele lor la punct, care sunt următoarele limite:
;
.
Aici
;
.
În virtutea continuității acestor funcții la punctul în care avem:
;
.

Deoarece funcția este diferențiată la punct, este definită în unele vecinătate a acestui punct, continuu în acest moment și creșterea acestuia poate fi scrisă în forma următoare:
(3) .
Aici

- creșterea funcției în creșterea argumentelor sale prin magnitudine și;
;

- derivate private pentru variabile și.
La valori fixe și, și există funcții de la variabile și. Ei se străduiesc cu zero și:
;
.
De atunci
;
.

Funcția de protecție:

. :
.
Înlocuitor (3):



.

Formula este dovedită.

Funcția complexă derivativă din mai multe variabile

Ieșirea de mai sus este ușor de generalizată în cazul în care numărul variabilelor funcției complexe este mai mare de două.

De exemplu, dacă f este funcționează de la trei variabileT.
,
Unde
și există funcții diferențiate la o anumită valoare a variabilei X;
- funcția diferențială, de la trei variabile, la punct ,,,.
Apoi, de la determinarea diferențierii funcției, avem:
(4)
.
Deoarece, din cauza continuității,
; ; ,
acea
;
;
.

Împărțirea (4) pe și completarea limitei, obținem:
.

Și în cele din urmă, ia în considerare cel mai frecvent caz.
Lăsați funcția de la variabila X să poată fi reprezentată ca o funcție complexă de la variabilele N în forma următoare:
,
Unde
Există funcții diferențiate cu o anumită valoare a variabilei X;
- funcția diferențială de la variabilele n la punct
, , ... , .
Atunci
.

Vezi si: